小6 算数｜落ちや重なりを防ぐ

順番じゅんばんをつけると何通り？選ぶだけと比べよう

A・B・Cの3枚から2枚を選ぶとき、1番目と2番目を決めるなら6通り、順番じゅんばんを決めずに選ぶだけなら3通りです。同じカードでも「ABとBAを別と数えるか」で答えが変わります。

先に「何を別の結果とするか」を決める

A・B・Cと書いた3枚のカードを用意します。それぞれ1枚ずつで、同じカードを2回使わないものとします。「2枚を選ぶ」とだけ読んで計算けいさんを始めず、問題もんだい文が順番じゅんばんを決めているかを確かめましょう。

たとえば1番目と2番目に置くカードを決めるなら、ABはAが先、BAはBが先なので別の結果です。一方、2枚をひと組にするだけなら、AとBの組は取り上げる順番じゅんばんを変えても同じ組です。この違いを、カードを動かして確かめます。

1枚目をAにすると、2枚目はBかCです。1枚目をBにすると、2枚目はAかC。1枚目をCにすると、2枚目はAかBです。先頭をそろえて書くと、同じ結果を二度書いたり、一つ抜かしたりしにくくなります。

1番目は3通り、そのそれぞれに2番目が2通りずつあるので、3×2＝6通りです。3×3ではありません。一度使ったカードはもう使えないという条件があるため、2枚目の選び方は2通りになります。

今度は順番じゅんばんをつけずに2枚を選びます。先ほどの6通りを見て、ABとBA、ACとCA、BCとCBをそれぞれ同じ組としてまとめます。残る組は、AとB、AとC、BとCの3通りです。

今回は各組がちょうど2回ずつ現れているので、6÷2＝3と計算けいさんできます。「選ぶだけはいつも2で割る」と覚えるのではなく、同じ組が何回現れたかを確かめます。選ぶ枚数が変われば、同じ組の並べ方の数も変わります。

3人からリーダーと記録係を一人ずつ選び、兼任しないなら役割が違います。AさんがリーダーでBさんが記録係の場合ばあいと、その逆は別です。カードの「1番目・2番目」と同じように考えられます。

3人から係のメンバーを2人選び、2人の役割に違いがないなら、AさんとBさんの組は一つです。「だれを選ぶか」だけを決めています。子どもが式を先に書いたら、「ABとBAは、この話では同じ？違う？」と尋ねてみましょう。

ただし、実際の係決めではほかの条件が付くこともあります。ここでは学習用として、3人は区別でき、どの人もどちらの役割にもなれると決めています。条件を足したり外したりするときは、数え方も確かめ直します。

並びを思いついた順に書くと、AB、BC、AC、BA…と途中で迷うことがあります。Aから始まるもの、Bから始まるもの、Cから始まるもののように、最初の条件を固定すると点検できます。

順番じゅんばんなしでは、たとえば文字をA、B、Cの順に並べて記録すると、BAを別に書き足すのを防げます。記号は結果を整理するための道具です。アルファベットを使わず、色の違うカードや人の名前で整理しても構いません。

家庭では全部を親が並べず、「Aが最初のものは、これで全部？」と一つのまとまりだけ確かめます。子どもが自分で残りを整理できると、式の意味も説明せつめいしやすくなります。

問題もんだい1。A・B・C・Dの4枚から、同じカードを使わずに1番目と2番目を決めます。全部で何通りですか。

問題もんだい2。同じ4枚から、順番じゅんばんを決めずに2枚を選びます。全部の組を書いて、何通りあるか求めましょう。

問題もんだい3。3人からリーダーと記録係を兼任なしで決める問題もんだいを、「3通り」と答えた人がいます。何を同じとして数えてしまったのでしょうか。

問題もんだい4。A・B・Cの3枚すべてを一列に並べます。何通りですか。また、3枚全部を選ぶだけなら何通りですか。

問題もんだい1は12通りです。1番目が4通り、そのそれぞれで2番目が残り3通りなので、4×3＝12です。AAのような並びは、同じカードを2回使うため含めません。

問題もんだい2は6通りです。組をAB、AC、AD、BC、BD、CDと記録できます。問題もんだい1ではABとBAなどが2回ずつ現れるため、12÷2＝6でも確かめられます。六つの組を実際に書けば、計算けいさんの答えとの対応が分かります。

問題もんだい3は、役割を入れ替えた結果を同じ組としてまとめた可能性があります。Aがリーダー・Bが記録係と、Bがリーダー・Aが記録係は別なので、答えは6通りです。誤答の原因は式の計算けいさんではなく、何を別とするかの読み違いです。

問題もんだい4は、並べるならABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りです。全部を選ぶだけならA・B・Cの1組しかありません。ここで順番じゅんばんなしの1通りを出すのに、6を2で割ることはできません。

枝分かれする樹形図は整理の方法の一つです。表や一覧でも、すべてを落ちなく重なりなく数えられれば構いません。書いた結果が何を表しているか説明せつめいできることが大切です。

式だけで意味が分からなくなったときは、少ない枚数の例に戻ります。3×2の3と2が何の数か、カードの一覧と結び付けて確かめましょう。

条件が変わります。3種類から2回選び直せるなら、1回目も2回目も3通りで、順番じゅんばんありでは3×3＝9通りです。このページの「同じカードは使わない」という条件と分けて考えます。

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